回归模型及回归方程
回归模型及回归方程
不愿透露性别的某名宿 发表于6个月前
回归模型及回归方程
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  • 回归分析主要解决的问题
a、从一组样本数据出发,确定变量之间的数学关系式
b、关系式的可信度进行检验,并找出哪些变量的影响是显著,哪些是不显著的
c、利用所求的关系式,根据一个或几个变量的取值来估计或预测另一个特定变量的取值,并给出这种估计或预测的可靠程度

  • 回归模型
  • 自变量与因变量
被预测或被解释的变量,称为因变量,用y表示;
用来预测或解释因变量的一个或者多个变量称为自变量,用x表示;

  • 一元回归、一元线性回归
一元回归:一个自变量
一元线性回归:线性关系

  • 回归模型
描述因变量 y 如何依赖与自变量 x 和 误差项   的方程称为回归模型
 

 +    反应了由于X的变化而引起的Y的线性变化,  称为模型的参数

 被称为误差项的随机变量,反映了除 X 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对y的影响,是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性 ,


  • 上述为理论回归模型,其部分假定


a、因变量 y 与 x 有线性关系


b、重复抽样中,自变量 x 的取值是固定的,即假定 x 是非随机的

    上述两个假定下,对于任意个给定的 x 值,y 的取值都对应着一个分布,因此, E(y) =  +  代表一条直线,但由于单个数据点是从 y  的分布中抽出来的,可能不在这条直线上,因此,必须包含一个误差  来描述模型的数据点


c、误差项  是一个期望值为0 的随机变量,即 E() = 0。,上述式子中,由于都为常数,所以有 E() =  ,E() =  。

    因此对于一个给定的 x 值,y 的期望值为 E(y) =  +  。这实际上等于假定模型的形式为一条直线


d、对于所有的 x 的值, 的方差        都相同,这以为这对应一个特定 x值,y 的方差也都是等于   


e、误差项  服从正态分布的随机变量,且独立,即  ~N(0,

    1、独立性意味着一个特定的 x 值,它所对应的  与其他 x 值所对应的  不相关 ,所因此,对于一个特定的 x 值,他所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关

    2、这表明, 在 x 取某个确定值的情况下,y 的变化由误差项  的方差  来决定

    3、当  较小时,y 的观测值非常靠近直线

         当  较大时,y 的观测值偏离直线 

         由于  是常数,y 的取值不受 x 取值的影响

    4、由于自变量 x 在数据收集前假设是固定的,因此,对于任何一个给定的 x 值, y 都 服从期望值为  +  、方差为  的正态分布,对于不同的 x 具有相同的方差


关于回归模型的假定,如下图

 


  • 回归方程

根据回归模型的假定, 的期望值等于0 ,因此E(y) =  +  

描述因变量 y 的期望值如何依赖与自变量 x 的方程称为回归方程 ,一元线性回归方程

 

E(y) =  +  


a、图示是一条直线,也称为直线回归方程

b、 :y轴上的截距,x = 0时 y 的期望值, 斜率: x 每变动一个单位, y 的平均变动值为


  • 估计的回归方程

用样本统计量      代替回归返程中的未知参数,    这时就得到了估计的回归方程

 =     +   


:截距, 斜率,表示 x 每变动一个单位时, y 的平均变动值





标签: 统计学
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