NURBS
贝塞尔曲线的缺点是当我们增加很多控制点的时候,曲线变得不可控,其连续性会变差差。如果控制点很多(高阶曲线),当我们调整一个控制点的位置,对整个曲线的影响是很大的。要获得更高级的控制,可以使用GLU库提供的NURBS(非均匀有理B样条)。通过这些函数我们可以在求值器中调整控制点的影响力,在有大量控制点的情况下,依然可以产生平滑的曲线。
从贝塞尔到B样条
贝塞尔曲线由起点、终点和其他控制点来影响曲线的形状。在二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线中,可以通过调整控制点的位置而得到很好的平滑性(C2级连续性 曲率级)的曲线。当增加更多的控制点的时候,这种平滑性就被破坏了。如下图所示,前两个曲线很平滑(曲率级的连续性),第三个曲线在增加了一个控制点之后,曲线被拉伸了,其平滑性遭到了破坏。
B样条的工作方式类似于贝塞尔曲线,但不同的是曲线被分成很多段。每段曲线的形状只受到最近的四个控制点的影响,这样曲线就像是4阶的贝塞尔曲线拼接起来的。这样很长的有很多控制点的曲线就会有固定的连续性,平滑性(每一段都是c2级的连续性)。
结点
NURBS(非均匀有理B样条)的真正威力在于,可以调整任意一段曲线中的四个控制点的影响力,来产生较好的平滑性。这是通过一系列结点来控制的。每个控制点都定义了两个结点的值。结点的取值范围是u或v的定义域,而且必须是非递减的。
结点的值决定了落在u、v参数定义域内的控制点的影响力。下图的曲线表示控制点对一条在u参数定义域内的具有四个单位的曲线的影响。下图表示中间点对曲线的影响更大,而且只有在[0,3]范围内的控制点才会对曲线产生影响。
在u、v参数定义域内的控制点对曲线的形状会有有影响,而且我们可以通过结点来控制控制点的影响力。非均匀性就是指一个控制点的影响力的范围是可以改变的。
以下内容及节选自 http://www.rhino3d.com/cn/nurbs
节点 ( Knot ) 是一个 ( 阶数 + N - 1 ) 的数字列表,N 代表控制点数目。有时候这个列表上的数字也称为节点矢量 ( Knot Vector ),这里的矢量并不是指 3D 方向。
节点列表上的数字必须符合几个条件,确定条件是否符合的标准方式是在列表上往下时,数字必需维持不变或变大,而且数字重复的次数不可以比阶数大。例如,阶数 3 有 15 个控制点的 NURBS 曲线,列表数字为 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 是一个符合条件的节点列表。列表数字为 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 则不符合,因为此列表中有四个 2,而四比阶数大 ( 阶数为 3 )。
节点值重复的次数称为节点的重数 ( Multiplicity ),在上面例子中符合条件的节点列表中,节点值 0 的重数值为三;节点值 1 的重数值为一;节点值 2 的重数为三;节点值 7 的重数值为二;节点值 9 的重数值为三。如果节点值重复的次数和阶数一样,该节点值称为全复节点 ( Full-Multiplicity Knot )。在上面的例子中,节点值 0、2、9 有完整的重数,只出现一次的节点值称为单纯节点 ( Simple Knot ),节点值 1 和 3 为单纯节点。
如果在节点列表中是以全复节点开始,接下来是单纯节点,再以全复节点结束,而且节点值为等差,称为均匀 ( Uniform )。例如,如果阶数为 3 有 7 个控制点的 NURBS 曲线,其节点值为 0,0,0,1,2,3,4,4,4,那么该曲线有均匀的节点。如果节点值是 0,0,0,1,2,5,6,6,6 不是均匀的,称为非均匀 ( Non-Uniform )。在 NURBS 的 NU 代表“非均匀”,意味着在一条 NURBS 曲线中节点可以是非均匀的。
在节点值列表中段有重复节点值的 NURBS 曲线比较不平滑,最不平滑的情形是节点列表中段出现全复节点,代表曲线有锐角。因此,有些设计师喜欢在曲线插入或移除节点,然后调整控制点,使曲线的造型变得平滑或尖锐。因为节点数等于 ( N + 阶数 - 1 ),N 代表控制点的数量,所以插入一个节点会增加一个控制点,移除一个节点也会减少一个控制点。插入节点时可以不改变 NURBS 曲线的形状,但通常移除节点必定会改变 NURBS 曲线的形状。
节点(Knot)与控制点
控制点和节点是一对一成对的是常见的错误概念,这种情形只发生在 1 阶的 NURBS ( 多重直线 )。较高阶数的 NURBS 的每 ( 2 x 阶数 ) 个节点是一个群组,每 ( 阶数 + 1 ) 个控制点是一个群组。例如,一条 3 阶 7 个控制点的 NURBS 曲线,节点是 0,0,0,1,2,5,8,8,8,前四个控制点是对应至前六个节点;第二至第五个控制点是对应至第二至第七个节点 0,0,1,2,5,8;第三至第六个控制点是对应至第三至第八个节点 0,1,2,5,8,8;最后四个控制点是对应至最后六个节点
创建NURBS表面
GLU库中提供了易用高级的绘制NURBS表面的函数。我们不需要显示地调用求值函数或建立网格。渲染一个NURBS表面的步骤如下:
- 创建一个NURBS渲染对象 gluNewNurbsRenderer()
- 调用相关的NURBS函数来修改曲线或曲面的外观 gluNurbsProperty
- 定义表面,渲染NURBS gluBeginSurface gluNurbsSurface gluEndSurface
- 销毁NURBS渲染对象 gluDeleteNurbsRenderer();
我们通过gluNewNurbsRenderer函数来为NURBS创建一个渲染器对象,在最后使用gluDeleteNurbsRenderer销毁它。代码如下:
//
NURBS 对象指针
GLUnurbsObj
*
pNurb
=
NULL;
...
...
//
创建NURBS对象
pNurb
=
gluNewNurbsRenderer();
...
if
(pNurb)
gluDeleteNurbsRenderer(pNurb);
NURBS属性
在创建了NURBS渲染器之后,我们需要设置NURBS的属性。
//设置采样容差
gluNurbsProperty(pNurb, GLU_SAMPLING_TOLERANCE, 25.0f);
//填充一个实体的表面
gluNurbsProperty(pNurb, GLU_DISPLAY_MODE, (GLfloat)GLU_FILL);
GLU_SAMPLING_TOLERANCE决定了网格的精细程度。GLU_FILL表示使用填充模式,相应的GLU_OUTLINE_POLYGON是线框模式。
定义表面
表面通过一组控制点和一个结点序列来定义。使用gluNurbsSurface函数来定义表面,这个函数要在gluBeginSurface和gluEndSurface中间:
//
渲染NURB
//
开始NURB表面的定义
gluBeginSurface(pNurb);
gluNurbsSurface(pNurb,
//
指针指向NURBS渲染器
8
, Knots,
//
u定义域内的结点个数,以及结点序列
8
, Knots,
//
v定义域内的结点个数,以及结点序列
4
*
3
,
//
u方向上控制点的间隔
3
,
//
v方向上控制点的间隔
&
ctrlPoints[
0
][
0
][
0
],
//
控制点数组
4
,
4
,
//
u,v 的次数
GL_MAP2_VERTEX_3);
//
表面的类型
//
完成定义
gluEndSurface(pNurb);
我们可以通过gluNurbsSurface来定义多个NURBS表面,但NURBS渲染器的属性不会改变。一般情况下我们连续画两个不同的属性的表面,比如很少需要相邻的两个曲面一个是填充型的一个是线框性的。控制点和结点的序列如下:
GLint nNumPoints = 4; // 4 X 4
// u v (x,y,z)
GLfloat ctrlPoints[4][4][3]= {{{ -6.0f, -6.0f, 0.0f}, // u = 0, v = 0
{ -6.0f, -2.0f, 0.0f}, // v = 1
{ -6.0f, 2.0f, 0.0f}, // v = 2
{ -6.0f, 6.0f, 0.0f}}, // v = 3
{{ -2.0f, -6.0f, 0.0f}, // u = 1 v = 0
{ -2.0f, -2.0f, 8.0f}, // v = 1
{ -2.0f, 2.0f, 8.0f}, // v = 2
{ -2.0f, 6.0f, 0.0f}}, // v = 3
{{ 2.0f, -6.0f, 0.0f }, // u =2 v = 0
{ 2.0f, -2.0f, 8.0f }, // v = 1
{ 2.0f, 2.0f, 8.0f }, // v = 2
{ 2.0f, 6.0f, 0.0f }},// v = 3
{{ 6.0f, -6.0f, 0.0f}, // u = 3 v = 0
{ 6.0f, -2.0f, 0.0f}, // v = 1
{ 6.0f, 2.0f, 0.0f}, // v = 2
{ 6.0f, 6.0f, 0.0f}}};// v = 3
效果图:
修剪
修剪的功能常用语消减NURBS表面的锐利的边缘。我们也可以使用修剪的功能在表面上剪一个洞。下面的示例在表面剪一个三角形的洞:
static GLUnurbsObj *pNurb = NULL;
GLint nNumPoints = 4; // 4 X 4
// u v (x,y,z)
GLfloat ctrlPoints[4][4][3]= {{{ -6.0f, -6.0f, 0.0f}, // u = 0, v = 0
{ -6.0f, -2.0f, 0.0f}, // v = 1
{ -6.0f, 2.0f, 0.0f}, // v = 2
{ -6.0f, 6.0f, 0.0f}}, // v = 3
{{ -2.0f, -6.0f, 0.0f}, // u = 1 v = 0
{ -2.0f, -2.0f, 8.0f}, // v = 1
{ -2.0f, 2.0f, 8.0f}, // v = 2
{ -2.0f, 6.0f, 0.0f}}, // v = 3
{{ 2.0f, -6.0f, 0.0f }, // u =2 v = 0
{ 2.0f, -2.0f, 8.0f }, // v = 1
{ 2.0f, 2.0f, 8.0f }, // v = 2
{ 2.0f, 6.0f, 0.0f }},// v = 3
{{ 6.0f, -6.0f, 0.0f}, // u = 3 v = 0
{ 6.0f, -2.0f, 0.0f}, // v = 1
{ 6.0f, 2.0f, 0.0f}, // v = 2
{ 6.0f, 6.0f, 0.0f}}};// v = 3
// Knot sequence for the NURB
GLfloat Knots[8] = {0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f};
void DrawPoints(void)
{
glColor3ub(255, 0, 0);
glPointSize(5.0f);
glBegin(GL_POINTS);
for (int i = 0; i < 4; ++i)
{
for (int j = 0; j < 4; ++j)
{
glVertex3fv(ctrlPoints[i][j]);
}
}
glEnd();
}
// NURBS 出错时的回调函数
void CALLBACK NurbsErrorHandler(GLenum nErrorCode)
{
char cMessage[100] = {0,};
strcpy(cMessage, "NURBS error : ");
strcat(cMessage, (char*)gluErrorString(nErrorCode));
glutSetWindowTitle(cMessage);
}
void RenderScene(void)
{
glColor3ub(0,0,220);
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glPushMatrix();
glRotatef(330.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f);
//修剪框是一个闭合的环
//外修剪框
GLfloat outSidePts[5][2] =
{{0.0f, 0.0f}, {1.0f, 0.0f}, {1.0f, 1.0f}, {0.0f, 1.0f}, {0.0f, 0.0f}};
//内修剪框
GLfloat inSidePts[4][2] =
{{0.25f, 0.25f}, { 0.5f, 0.5f}, {0.75f, 0.25f},{0.25f, 0.25f} };
gluBeginSurface(pNurb);
//定义NURBS表面
gluNurbsSurface(pNurb,
8, Knots, //u定义域内的结点个数,以及结点序列
8, Knots,//v定义域内的结点个数,以及结点序列
4 * 3, //u方向上的控制点间隔
3, //v方向上的控制点间隔
&ctrlPoints[0][0][0], //控制点数组
4, 4, //u v的次数
GL_MAP2_VERTEX_3);//产生的类型
//开始修剪
gluBeginTrim(pNurb);
gluPwlCurve(pNurb,
5, //修剪点的个数
&outSidePts[0][0], //修剪点数组
2, //点之间的间隔
GLU_MAP1_TRIM_2);//修剪的类型
gluEndTrim(pNurb);
gluBeginTrim(pNurb);
gluPwlCurve(pNurb, 4, &inSidePts[0][0], 2, GLU_MAP1_TRIM_2);
gluEndTrim(pNurb);
gluEndSurface(pNurb);
DrawPoints();
glPopMatrix();
glutSwapBuffers();
}

在一对gluBeginSurface/gluEndSurface调用内部,调用gluBeginTrim函数开始修剪,调用gluPwlCurve函数指定一条修剪曲线,然后调用gluEndTrim完成曲线的修剪。这些修剪曲线必须根据单位参数方程u和v空间指定。这意味着u/v定义域被缩放到0.0到1.0之间。
gluPwlCurve函数定义一条由片段拼接成的线性曲线,实质上就是一些首尾相连的点。对曲线进行修剪时,顺时针方向修剪的曲线将会丢弃它的内部。一般情况下,应该指定一条外部修剪曲线,它包围了整个NURBS参数空间,然后在这个区域内部指定一个较小的修剪区域(顺时针围绕)。
曲面细分(Tesselation)
为了使OpenGl的速度尽可能快,所有的几何图元都必须是凸的。如果我们遇到复杂的几何图形(如下图),要把它手工切分为多个凸多边形工作量较大。OpenGL的GLU库提供了曲面细分的特性,帮助我们处理复杂的图形。
对上面的两个几何图形我们可以进行如下图的细分(这种分法不是唯一的)
镶嵌器(Tessellatror)
曲面细分通过镶嵌器对象来工作。镶嵌器对象类似于二次方程状态对象需要创建以及销毁。
GLUtesselator *pTess = gluNewTes(); //注意不是GLUtessellator 少了个l
…
gluDeleteTess(pTess);
所有的曲面细分函数的第一个参数都是镶嵌器对象。这样就允许我们构造多个镶嵌器,并在需要的时候很方便的进行切换,这也使得镶嵌器只影响当前的工作对象。
镶嵌器分解多边形并渲染的步骤如下:
- 创建镶嵌器对象
- 设置镶嵌器的回调函数和镶嵌器的状态
- 开始一个多边形
- 开始一个轮廓
- 把轮廓的顶点发送给镶嵌器
- 结束一个轮廓
- 如果有更多的轮廓回到步骤4
- 结束多边形
每个多边形由一个或多个轮廓组成。上图左边的多边形就只有一个轮廓,右边的有个洞所以有两个轮廓。曲线细分的工作是到步骤8才进行的。曲线细分会带来一定性能的开销。如果图形是静态的最好是把函数调用放到显示列表中。
镶嵌器的回调函数
在曲面细分的过程中,镶嵌器会调用一系列你提供的回调函数。这些回调函数指定了顶点的信息以及开始和结束图元。注册回调函数的原型如下:
void gluTessCallback(GLUTesselator *tobj, GLenum which, void (*fn)());
第一个参数是镶嵌器对象,第二个指定回调函数的类型,第三个是回调函数指针。
例如:
typedef GLvoid (_stdcall *CallBack)();
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_BEGIN, (CallBack)glBegin);
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_VERTEX, (CallBack)glVertex3dv);
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_END, (CallBack)glEnd);
上面三个函数分别指定了,新图元开始的回调函数,为每一个顶点调用glVertex3dv,以及结束的回调函数。上面只是简单的指定了OpenGL的函数,你也可以自定一个回调函数,里面实现你想要的功能。还可以注册出错时的回调函数:
void tessError(GLenum code)
{
const char *str = (const char*)gluErrorString(code);
glutSetWindowTitle(str);
}
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_ERROR, (CallBack)tessError);
指定顶点数据
void gluTessBeginPolygon(GLUTesselator *tobj, void *data);
第一个参数为镶嵌器对象指针,第二个参数是指向曲面细分处理相关联的用户自定义数据,这个数据可以用回调函数在细分的过程中发送回来。一般情况下,这个参数常常设置为NULL. 完成一个多边形后调用下面的函数开始细分。
void gluTessEndPolygon(GLUTesslator *tobj);
下面两个函数开始和结束轮廓,对应于步骤4和6:
void gluTessBeginContour(GLUTesselator *tobj);
void gluTessEndContour(GLUTesselator *tobj);
在这两个函数中,添加轮廓的顶点:
void gluTessVertex(GLUTesselator *tobj, GLdouble v[3], void *data);
v参数包含了用于镶嵌器计算的真实的顶点数据,data参数是指向顶点数据的指针,传给指定的GLU_VERTEX的回调函数。第二个参数可以包含除了顶点之外的一些信息如颜色,法线等。如果我们自己定义了GLU_VERTEX的回调函数,那么就可以使用data的数据了。
示例
一个佛罗里达州的简单轮廓,这个州里面还有个奥基乔比湖的轮廓。通过右键菜单,我们可以在简单的画线环绕模式,外围轮廓曲线细分模式,和复杂模式之间切换。
这里面有个新函数gluTessProperty(pTess, GLU_TESS_WINDING_RULE, GLU_TESS_WINDING_ODD);这个指定了轮廓线为奇数的是填充的,轮廓线是偶数的是镂空的。我们的湖的轮廓线在里面,是第二个轮廓线,所以是镂空的。
代码如下:
#include "gltools.h"
#include <math.h>
//外围轮廓线
#define COAST_POINTS 24
GLdouble vCoast[COAST_POINTS][3] = {{-70.0, 30.0, 0.0 },
{-50.0, 30.0, 0.0 },
{-50.0, 27.0, 0.0 },
{ -5.0, 27.0, 0.0 },
{ 0.0, 20.0, 0.0 },
{ 8.0, 10.0, 0.0 },
{ 12.0, 5.0, 0.0 },
{ 10.0, 0.0, 0.0 },
{ 15.0,-10.0, 0.0 },
{ 20.0,-20.0, 0.0 },
{ 20.0,-35.0, 0.0 },
{ 10.0,-40.0, 0.0 },
{ 0.0,-30.0, 0.0 },
{ -5.0,-20.0, 0.0 },
{-12.0,-10.0, 0.0 },
{-13.0, -5.0, 0.0 },
{-12.0, 5.0, 0.0 },
{-20.0, 10.0, 0.0 },
{-30.0, 20.0, 0.0 },
{-40.0, 15.0, 0.0 },
{-50.0, 15.0, 0.0 },
{-55.0, 20.0, 0.0 },
{-60.0, 25.0, 0.0 },
{-70.0, 25.0, 0.0 }};
//湖的轮廓线
#define LAKE_POINTS 4
GLdouble vLake[LAKE_POINTS][3] = {{ 10.0, -20.0, 0.0 },
{ 15.0, -25.0, 0.0 },
{ 10.0, -30.0, 0.0 },
{ 5.0, -25.0, 0.0 }};
#define LINE_LOOP 1
#define TESS 2
#define COMPLEX 3
static int iMode = LINE_LOOP;
void SetupRC()
{
glClearColor(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
}
void tessError(GLenum code)
{
const char *str = (const char*)gluErrorString(code);
glutSetWindowTitle(str);
}
void RenderScene()
{
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
glColor3f(1.0f, 0.0f, 1.0f);
glPushMatrix();
glPolygonMode(GL_FRONT_AND_BACK, GL_FILL);
switch(iMode)
{
case LINE_LOOP:
{
glBegin(GL_LINE_LOOP);
for (int i = 0; i < COAST_POINTS; ++i)
{
glVertex3dv(vCoast[i]);
}
glEnd();
}
break;
case TESS:
{
//创建镶嵌器对象
GLUtesselator *pTess = gluNewTess();
//设置回调函数
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_BEGIN, (CallBack)glBegin);
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_END, (CallBack)glEnd);
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_VERTEX, (CallBack)glVertex3dv);
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_ERROR, (CallBack)tessError);
//开始一个多边形
gluTessBeginPolygon(pTess, NULL);
//开始一个轮廓
gluTessBeginContour(pTess);
//设置轮廓的顶点
for (int i = 0; i < COAST_POINTS; ++i)
{
gluTessVertex(pTess, vCoast[i], vCoast[i]);
}
gluTessEndContour(pTess);
gluTessEndPolygon(pTess);
gluDeleteTess(pTess);
}
break;
case COMPLEX:
{
GLUtesselator *pTess = gluNewTess();
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_BEGIN, (CallBack)glBegin);
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_END, (CallBack)glEnd);
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_VERTEX, (CallBack)glVertex3dv);
gluTessCallback(pTess, GLU_TESS_ERROR, (CallBack)tessError);
//指定奇数的轮廓为填充,偶数的轮廓是镂空的。这也是默认的设置
gluTessProperty(pTess, GLU_TESS_WINDING_RULE, GLU_TESS_WINDING_ODD);
gluTessBeginPolygon(pTess, NULL);
gluTessBeginContour(pTess);
for (int i = 0; i < COAST_POINTS; ++i)
{
gluTessVertex(pTess, vCoast[i], vCoast[i]);
}
gluTessEndContour(pTess);
gluTessBeginContour(pTess);
for (int i = 0; i < LAKE_POINTS; ++i)
{
gluTessVertex(pTess, vLake[i], vLake[i]);
}
gluTessEndContour(pTess);
gluTessEndPolygon(pTess);
gluDeleteTess(pTess);
}
break;
default:
break;
}
glPopMatrix();
glutSwapBuffers();
}
void ChangeSize(GLsizei w, GLsizei h)
{
if (h == 0)
{
h = 1;
}
glViewport(0, 0, w, h);
GLfloat aspect = (GLfloat)w/(GLfloat)h;
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluOrtho2D(-100.0, 100.0, -100.0, 100.0);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
}
void ProcessMenu(int value)
{
iMode = value;
glutPostRedisplay();
}
int main(int args, char *argv[])
{
glutInit(&args, argv);
glutInitWindowSize(800, 600);
glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGBA | GLUT_DEPTH);
glutCreateWindow("florida");
glutDisplayFunc(RenderScene);
glutReshapeFunc(ChangeSize);
glutCreateMenu(ProcessMenu);
glutAddMenuEntry("LINE_LOOP", LINE_LOOP);
glutAddMenuEntry("Tess", TESS);
glutAddMenuEntry("Complex", COMPLEX);
glutAttachMenu(GLUT_RIGHT_BUTTON);
SetupRC();
glutMainLoop();
return 0;
}
用线环绕的模式:
单轮廓模式:
包含湖的轮廓