从01背包问题理解动态规划---初体验

2016/11/03 23:52
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  01背包问题具体例子:假设现有容量10kg的背包,另外有3个物品,分别为a1,a2,a3。物品a1重量为3kg,价值为4;物品a2重量为4kg,价值为5;物品a3重量为5kg,价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大?

  这个问题有两种解法,动态规划和贪婪算法。本文仅涉及动态规划。

  先不套用动态规划的具体定义,试着想,碰见这种题目,怎么解决?

  首先想到的,一般是穷举法,一个一个地试,对于数目小的例子适用,如果容量增大,物品增多,这种方法就无用武之地了。

  其次,可以先把价值最大的物体放入,这已经是贪婪算法的雏形了。如果不添加某些特定条件,结果未必可行。

  最后,就是动态规划的思路了。先将原始问题一般化,欲求背包能够获得的总价值,即欲求前i个物体放入容量为m(kg)背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值,当m取10,i取3时,即原始问题了。而前i个物体放入容量为m(kg)的背包,又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

  表达式中各个符号的具体含义。

  w[i] :  第i个物体的重量;

  p[i] : 第i个物体的价值;

  c[i][m] : 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值;

  c[i-1][m] : 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值;

  c[i-1][m-w[i]] : 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值;

  由此可得:

      c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}(下图将给出更具体的解释)

 

 

    根据上式,对物体个数及背包重量进行递推,列出一个表格(见下表),表格来自(http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload) ,当逐步推出表中每个值的大小,那个最大价值就求出来了。推导过程中,注意一点,最好逐行而非逐列开始推导,先从编号为1的那一行,推出所有c[1][m]的值,再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。

    

    思路厘清后,开始编程序,C语言代码如下所示。

复制代码
#include <stdio.h>
int c[10][100]={0};

void knap(int m,int n){

    int i,j,w[10],p[10];
    for(i=1;i<n+1;i++)
        scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]);
    for(j=0;j<m+1;j++)
        for(i=0;i<n+1;i++)
    {
        if(j<w[i])
        {
            c[i][j]=c[i-1][j];
            continue;
        }else if(c[i-1][j-w[i]]+p[i]>c[i-1][j])
            c[i][j]=c[i-1][j-w[i]]+p[i];
        else
            c[i][j]=c[i-1][j];
    }
    
}            


int main(){
    int m,n;int i,j;
    printf("input the max capacity and the number of the goods:\n");
    scanf("%d,%d",&m,&n);
    printf("Input each one(weight and value):\n");
    knap(m,n);
    printf("\n");
   for(i=0;i<=n;i++)
        for(j=0;j<=m;j++)
       {
     printf("%4d",c[i][j]);
    if(m==j) printf("\n");
    }
}
代码中,红色字体部分是自己写的,其余的参照了这篇博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_6dcd26b301013810.html
复制代码

   如果你很轻松地就突破了01背包,甚至很轻松地就理解了动态规划,那么继续前进,做一下这道题目(http://acm.uestc.edu.cn/problem.php?pid=1012)。很好玩的。

//输入描述:
//输入的第 1 行,为两个正整数,用一个空格隔开:N m
//(其中 N ( <32000 )表示总钱数, m ( <60 )为希望购买物品的个数。)
//
//从第 2 行到第 m + 1 行,第 j 行给出了编号为 j - 1 的物品的基本数据,每行有 3 个非负整数 v p q
//
//(其中 v 表示该物品的价格( v<10000 ), p 表示该物品的重要度( 1 ~5 ), q 表示该物品是主件还是附件。如果 q = 0 ,
//                表示该物品为主件,如果 q>0 ,表示该物品为附件, q 是所属主件的编号)
//
//输出描述 :
//输出文件只有一个正整数,为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值( <200000 )。


//动态规划,(0,1)背包问题
#include<iostream>
using namespace std;

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

struct InputBuf
{
    int price;
    int weight;
    int type;
};

struct InputBuf inputBuf[60];
int sum_money = 0;
int sum_num = 0;

int countMaxvalue(int index, int money, int f)
{
    int a = 0, b = 0;
    if (index >= sum_num) return 0;
    if (inputBuf[index].type == 0)  //主件
    {
        if (money >= inputBuf[index].price)
        {
            a = countMaxvalue(index + 1, money - inputBuf[index].price, 1) + inputBuf[index].price * inputBuf[index].weight;  //买第index件物品的附件
            b = countMaxvalue(index + 1, money, 0);    //买主件
            return a > b ? a : b;
        }
        else
            return countMaxvalue(index + 1, money, 0);
    }
    else if ((inputBuf[index].type != 0) && (f == 1))  //附件,且主件必须买
    {
        if (money >= inputBuf[index].price)
        {
            a = countMaxvalue(index + 1, money - inputBuf[index].price, f) + inputBuf[index].price * inputBuf[index].weight;
            b = countMaxvalue(index + 1, money, f);
            return a > b ? a : b;
        }
    }
    else
    {
        return countMaxvalue(index + 1, money, f);
    }
    return 0;
}



int main(void)
{
    int i = 0;
    scanf("%d %d", &sum_money, &sum_num);
    for (i = 0; i < sum_num; i++)
    {
        scanf("%d %d %d", &inputBuf[i].price, &inputBuf[i].weight, &inputBuf[i].type);
    }
    printf("%d", countMaxvalue(0, sum_money, 1));
    return 0;
}

 

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