【转载】深度学习中7种最优化算法的可视化与理解

2022/04/24 12:32
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一篇不错的一维优化算法介绍,转过来备份参考。

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本文旨在优化一维函数,实际上模型参数有数百万维以上,差距很大,因此本文最好作为辅助法的理解,而非对算法优劣的判断依据。

 

在深度学习中,有很多种优化算法,这些算法需要在极高维度(通常参数有数百万个以上)也即数百万维的空间进行梯度下降,从最开始的初始点开始,寻找最优化的参数,通常这一过程可能会遇到多种的情况,诸如:

1.提前遇到局部最小值从而卡住,再也找不到全局最小值了

2.遇到极为平坦的地方:“平原”,在这里梯度极小,经过多次迭代也无法离开。同理,鞍点也是一样的,在鞍点处,各方向的梯度极小,尽管沿着某一个方向稍微走一下就能离开。

3.“悬崖”,某个方向上参数的梯度可能突然变得奇大无比,在这个地方,梯度可能会造成难以预估的后果,可能让已经收敛的参数突然跑到极远地方去。

 

为了可视化&更好的理解这些优化算法,我首先拼出了一个很变态的一维函数:

[公式]

其导数具有很简单的形式

[公式]

具体长得像:

具有悬崖和大量的局部最小值,足以模拟较为复杂的优化情况了。

算法1:纯粹的梯度下降法

该算法很简单,表述如下:

          首先给出学习率lr,初始x        
           while True:
                  x = x - lr*df/dx

根据学习率的不同,可以看到不同的效果。学习率过小,卡在局部极小值,学习率过大,压根不收敛。

梯度下降法

 

算法2:梯度下降法+动量

算法在纯粹的梯度下降法之上,外加了梯度,从而记录下了历史的梯度情况,从而减轻了卡在局部最小值的危险,在梯度=0的地方仍然会有一定的v剩余,从而在最小值附近摇摆

       首先给出学习率lr,动量参数m
       初始速度v=0,初始x
       while True:
                  v = m * v - lr * df/dx
                  x += v

下面可以看图:

梯度下降+动量, lr=0.05

 

梯度下降+动量, lr=0.01

 

梯度下降+动量, lr=0.002

从中我们可以看出:

  1. lr越小越稳定,太大了很难收敛到最小值上,但是太小的话收敛就太慢了
  2. 动量参数不能太小,0.9以上表现比较好,但是又不能太大,太大了无法停留在最小值处

 

算法3:AdaGrad算法

AdaGrad算法的思想是累计历史上出现过的梯度(平方),用积累的梯度平方的总和的平方根,去逐元素地缩小现在的梯度。某种意义上是在自行缩小学习率,学习率的缩小与过去出现过的梯度有关。

缺点是:刚开始参数的梯度一般很大,但是算法在一开始就强力地缩小了梯度的大小,也称学习率的过早过量减少。

算法描述:

给出学习率lr,delta=1e-7
累计梯度r=0,初始x
while True:
      g = df/dx
      r  = r + g*g
      x = x - lr / (delta+ sqrt(r)) * g
 

效果并不是很好......

 

算法4:RMSProp

AdaGrad算法在前期可能会有很大的梯度,自始至终都保留了下来,这会使得后期的学习率过小。RMSProp在这个基础之上,加入了平方梯度的衰减项,只能记录最近一段时间的梯度,在找到碗状区域时能够快速收敛。

算法描述:

给出学习率lr,delta=1e-6,衰减速率p
累计梯度r=0,初始x
while True:
      g = df/dx
      r  = p*r + (1-p)*g*g
      x = x - lr / (delta+ sqrt(r)) * g
 

RMSProp,p=0.99

 

RMSProp,p=0.9

 

RMSProp,p=0.8

 

衰减速率情况复杂,建议自行调参.......

 

算法5:Adam算法

Adam算法和之前类似,也是自适应减少学习率的算法,不同的是它更新了一阶矩和二阶矩,用一阶矩有点像有动量的梯度下降,而用二阶矩来降低学习率。

此外还使用了类似于s = s / (1-p1^t)这样的公式,这样的公式在t较为小的时候会成倍增加s,从而让梯度更大,参数跑的更快,迅速接近期望点。而后续t比较大的时候,s = s / (1-p1^t)基本等效于s=s,没什么用。

算法如下:

给出学习率lr,delta=1e-8,衰减速率p1=0.9,p2=0.999 
累计梯度r=0,初始x ,一阶矩s=0,二阶矩r=0
时间t = 0
while True:       
    t += 1
    g = df/dx 
    s = p1*s + (1-p1) *g
    r = p2*r +(1-p2)*g*g   

    s = s / (1-p1^t)
    r = r / (1-p2^t)    

    x = x - lr / (delta+ sqrt(r)) * s
 

Adam算法,鬼一样的表现

 

是的,你没有看错,这玩意压根不收敛......,表现极差

在算法中仔细研究后才发现,是在t很小的前几步的时候,p2=0.999太大了,导致r = r / (1-p2^t) 中,1-p2^t接近0,r迅速爆炸,百步之内到了inf。后来修改p2=0.9后效果就好的多了

Adam算法,神级表现

最后还是Adam效果最好了 :),尽管学习率还是需要相当的调参

 

算法6:牛顿法

牛顿法是二阶近似方法的一种,其原理类似于将某函数展开到二次方(二次型)项:

[公式]

如果幸运的话,这个展开式是一个开口向上的曲面,一步就走到这个曲面的最低点:

[公式]

初始x 
while True:            
        g = df(x)  # 一阶导数
        gg = ddf(x)   # 二阶导数
        x = x - g/gg   # 走到曲面的最低点
可怜的牛顿法,静态图

 

图片如上,看了真可怜........其实牛顿法要求的是H矩阵正定(一维情况下是二阶导数大于零),在多维中,这样的情况难以满足,大量出现的极小值,悬崖,鞍点都会造成影响,导致无法顺利进行下去,为了更好地进行牛顿法,我们需要正则化它。

 

算法7:牛顿法+正则化

牛顿法加上正则化可以避免卡在极小值处,其方法也很简单:更新公式改成如下即可

[公式]

一维的算法如下:

初始x  ,正则化强度alpha
while True:                     
       g = df(x)  # 一阶导数         
       gg = ddf(x)   # 二阶导数         
       x = x - g/(gg+alpha)   # 走到曲面的最低点

效果图:

牛顿法+正则化

看了真可怜.........二次方法真心在非凸情况很糟糕。此外算法涉及H矩阵的逆,这需要O(n^3)的计算量,非深度学习可用。

 

参考文献:

[1] Ian Goodfellow,深度学习Deep Learning,人民邮电出版社,170-190

 

代码:

#coding:utf-8
from __future__ import print_function
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return (0.15*x)**2 + np.cos(x) + np.sin(3*x)/3 + np.cos(5*x)/5 + np.sin(7*x)/7

def df(x):
    return (9/200)*x - np.sin(x) -np.sin(5*x) + np.cos(3*x) + np.cos(7*x)

points_x = np.linspace(-20, 20, 1000)
points_y = f(points_x)


# 纯粹的梯度下降法,GD
for i in range(10):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    lr = pow(2,-i)*16
    x = -20.0
    GD_x, GD_y = [], []
    for it in range(1000):
        GD_x.append(x), GD_y.append(f(x))
        dx = df(x)
        x = x - lr * dx

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(GD_x, GD_y, c="r", linestyle="-")
    plt.title("Gradient descent,lr=%f"%(lr))
    plt.savefig("Gradient descent,lr=%f"%(lr) + ".png")
    plt.clf()


# 动量 + 梯度下降法
for i in range(10):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    lr = 0.002
    m = 1 - pow(0.5,i)
    x = -20
    v = 1.0
    GDM_x, GDM_y = [], []
    for it in range(1000):
        GDM_x.append(x), GDM_y.append(f(x))
        v = m * v - lr * df(x)
        x = x + v

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(GDM_x, GDM_y, c="r", linestyle="-")
    plt.scatter(GDM_x[-1],GDM_y[-1],90,marker = "x",color="g")
    plt.title("Gradient descent + momentum,lr=%f,m=%f"%(lr,m))
    plt.savefig("Gradient descent + momentum,lr=%f,m=%f"%(lr,m) + ".png")
    plt.clf()


# AdaGrad
for i in range(15):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    lr = pow(1.5,-i)*32
    delta = 1e-7
    x = -20
    r = 0
    AdaGrad_x, AdaGrad_y = [], []
    for it in range(1000):
        AdaGrad_x.append(x), AdaGrad_y.append(f(x))
        g = df(x)
        r = r + g*g # 积累平方梯度
        x = x - lr /(delta + np.sqrt(r)) * g

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(AdaGrad_x, AdaGrad_y, c="r", linestyle="-")
    plt.scatter(AdaGrad_x[-1],AdaGrad_y[-1],90,marker = "x",color="g")
    plt.title("AdaGrad,lr=%f"%(lr))
    plt.savefig("AdaGrad,lr=%f"%(lr) + ".png")
    plt.clf()


# RMSProp
for i in range(15):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    lr = pow(1.5,-i)*32
    delta = 1e-6
    rou = 0.8
    x = -20
    r = 0
    RMSProp_x, RMSProp_y = [], []
    for it in range(1000):
        RMSProp_x.append(x), RMSProp_y.append(f(x))
        g = df(x)
        r = rou * r + (1-rou)*g*g # 积累平方梯度
        x = x - lr /(delta + np.sqrt(r)) * g

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(RMSProp_x, RMSProp_y, c="r", linestyle="-")
    plt.scatter(RMSProp_x[-1],RMSProp_y[-1],90,marker = "x",color="g")
    plt.title("RMSProp,lr=%f,rou=%f"%(lr,rou))
    plt.savefig("RMSProp,lr=%f,rou=%f"%(lr,rou) + ".png")
    plt.clf()

# Adam
for i in range(48):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    lr = pow(1.2,-i)*2
    rou1,rou2 = 0.9,0.9  # 原来的算法中rou2=0.999,但是效果很差
    delta = 1e-8
    x = -20
    s,r = 0,0
    t = 0
    Adam_x, Adam_y = [], []
    for it in range(1000):
        Adam_x.append(x), Adam_y.append(f(x))
        t += 1
        g = df(x)
        s = rou1 * s + (1 - rou1)*g
        r = rou2 * r + (1 - rou2)*g*g # 积累平方梯度
        s = s/(1-pow(rou1,t))
        r = r/(1-pow(rou2,t))
        x = x - lr /(delta + np.sqrt(r)) * s

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(Adam_x, Adam_y, c="r", linestyle="-")
    plt.scatter(Adam_x[-1],Adam_y[-1],90,marker = "x",color="g")
    plt.title("Adam,lr=%f"%(lr))
    plt.savefig("Adam,lr=%f"%(lr) + ".png")
    plt.clf()

# 牛顿法
for i in range(72):
    # 绘制原来的函数
    plt.plot(points_x, points_y, c="b", alpha=0.5, linestyle="-")
    # 算法开始
    alpha= pow(1.2,-i)*20
    x = -20.0
    Newton_x, Newton_y = [], []
    for it in range(1000):
        Newton_x.append(x), Newton_y.append(f(x))
        g = df(x)
        gg = ddf(x)
        x = x - g/(gg+alpha)

    plt.xlim(-20, 20)
    plt.ylim(-2, 10)
    plt.plot(Newton_x, Newton_y, c="r", linestyle="-")
    plt.scatter(Newton_x[-1],Newton_y[-1],90,marker = "x",color="g")
    plt.title("Newton,alpha=%f"%(alpha))
    plt.savefig("Newton,alpha=%f"%(alpha) + ".png")
    plt.clf()

 

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