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B-树,B+树,B*树详解

fengsehng
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发布于 2016/11/09 09:12
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B-树

B-树是一种多路搜索树(并不一定是二叉的)

1970年,R.Bayer和E.mccreight提出了一种适用于外查找的树,它是一种平衡的多叉树,称为B树(或B-树、B_树)。

一棵m阶B树(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜索树。它或者是空树,或者是满足下列性质的树:

1、根结点至少有两个子女;

2、每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足:┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1;

3、除根结点以外的所有结点(不包括叶子结点)的度数正好是关键字总数加1,故内部子树个数 k 满足:┌m/2┐ <= k <= m ;

4、所有的叶子结点都位于同一层。

特点:

是一种多路搜索树(并不是二叉的):

1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子;且M>2;

2.根结点的儿子数为[2, M];

3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M];

4.每个结点存放至少M/2-1(取上整)和至多M-1个关键字;(至少2个关键字)

5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1;

6.非叶子结点的关键字:K[1], K[2], …, K[M-1];且K[i] < K[i+1];

7.非叶子结点的指针:P[1], P[2], …, P[M];其中P[1]指向关键字小于K[1]的

子树,P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树,其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树;

8.所有叶子结点位于同一层;

如:(M=3)

这里写图片描述

B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果

命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为

空,或已经是叶子结点;

B-树的特性:

1.关键字集合分布在整颗树中;

2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;

3.搜索有可能在非叶子结点结束;

4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;

5.自动层次控制;

B+树

B+ 树是一种树数据结构,是一个n叉树,每个节点通常有多个孩子,一棵B+树包含根节点、内部节点和叶子节点。根节点可能是一个叶子节点,也可能是一个包含两个或两个以上孩子节点的节点。

用途:

B+ 树通常用于数据库和操作系统的文件系统中。NTFS, ReiserFS, NSS, XFS, JFS, ReFS 和BFS等文件系统都在使用B+树作为元数据索引。B+ 树的特点是能够保持数据稳定有序,其插入与修改拥有较稳定的对数时间复杂度。B+ 树元素自底向上插入。

B+树的定义

B+树是应文件系统所需而出的一种B-树的变型树。一棵m阶的B+树和m阶的B-树的差异在于:

1.有n棵子树的结点中含有n个关键字,每个关键字不保存数据,只用来索引,所有数据都保存在叶子节点。

2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息,及指向含这些关键字记录的指针,且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

3.所有的非终端结点可以看成是索引部分,结点中仅含其子树(根结点)中的最大(或最小)关键字。
通常在B+树上有两个头指针,一个指向根结点,一个指向关键字最小的叶子结点。

B+树是B-树的变体,也是一种多路搜索树:

1.其定义基本与B-树同,除了:

2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;

3.非叶子结点的子树指针P[i],指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树

(B-树是开区间);

5.为所有叶子结点增加一个链指针;

6.所有关键字都在叶子结点出现;

如:(M=3)

这里写图片描述
B+的搜索与B-树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B-树可以在

非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;

B+的特性:

1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好

是有序的;

2.不可能在非叶子结点命中;

3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储

(关键字)数据的数据层;

4.更适合文件索引系统;

B*树:

是B+树的变体,在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;

这里写图片描述

B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M,即块的最低使用率为2/3

(代替B+树的1/2);

B+树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中1/2的数据

复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;B+树的分裂只影响原结点和父

结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;

B*树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分

数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字

(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之

间增加新结点,并各复制1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;

所以,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高;

小结:

B-树:

多路搜索树,每个结点存储M/2到M个关键字,非叶子结点存储指向关键

字范围的子结点;

所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;

B+树:

在B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点

中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;B+树总是到叶子结点才命中;

B*树:

在B+树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率

从1/2提高到2/3;

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参考:
http://baike.baidu.com/view/2228473.htm
http://baike.baidu.com/subview/1168762/1168762.htm
http://www.cnblogs.com/oldhorse/archive/2009/11/16/1604009.html

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