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Bellman-Ford算法

fengsehng
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发布于 2016/11/09 09:12
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概述:

Bellman - ford算法是求含负权图的单源最短路径算法,效率很低,但代码很容易写。其原理为持续地进行松弛(原文是这么写的,为什么要叫松弛,争议很大),在每次松弛时把每条边都更新一下,若在n-1次松弛后还能更新,则说明图中有负环,因此无法得出结果,否则就完成。Bellman - ford算法有一个小优化:每次松弛先设一个标识flag,初值为FALSE,若有边更新则赋值为TRUE,最终如果还是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间去做没有必要的松弛,而SPFA算法用队列进行了优化,效果十分显著,高效难以想象。SPFA还有SLF,LLL,滚动数组等优化。

介绍

Dijkstra算法无法判断含负权边的图的最短路。如果遇到负权,在没有负权回路存在时(负权回路的含义是,回路的权值和为负。)即便有负权的边,也可以采用Bellman - Ford算法正确求出最短路径。
Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下(存在负权边)解决单源点最短路径问题。对于给定的带权(有向或无向)图 G=(V,E), 其源点为s,加权函数 w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman - Ford算法的结果是一个布尔值,表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路,算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

适用条件

1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
2.有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
3.边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
4.差分约束系统;

思想:

Bellman-Ford 算法描述:

1.创建源顶点 v 到图中所有顶点的距离的集合 distSet,为图中的所有顶点指定一个距离值,初始均为 Infinite,源顶点距离为 0;

2.计算最短路径,执行 V - 1 次遍历;

3.对于图中的每条边:如果起点 u 的距离 d 加上边的权值 w 小于终点 v 的距离 d,则更新终点 v 的距离值 d;

4.检测图中是否有负权边形成了环,遍历图中的所有边,计算 u 至 v 的距离,如果对于 v 存在更小的距离,则说明存在环;

注意:

上面的最后一步用于检测闭环的存在

步骤:

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检测步骤:

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实例:

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参考:
http://www.voidcn.com/blog/u010087886/article/p-4529113.html
http://baike.baidu.com/view/1712262.htm?fromtitle=Dijkstra%E7%AE%97%E6%B3%95&fromid=215612&type=syn
http://www.cnblogs.com/gaochundong/p/bellman_ford_algorithm.html

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加权有向图----一般性单源最短路径问题(Bellman-Ford算法)

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