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随机洗牌:哪一种算法是正确的?

暗之幻影
 暗之幻影
发布于 2016/12/08 14:46
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原文

记得当年搞NOIp时,我犯过一个相当严重的错误:错误地把Floyd算法的i, j, k三层循环的位置顺序搞颠倒了。直到准备省选时我才突然意识到,Floyd算法应该最先枚举用于松驰操作的那个“中间变量”k,表示只经过从1到k的顶点的最短路;而我却一直习惯性地以为i, j, k应该顺次枚举。令人惊讶的是,这个错误跟了我那么久我居然从来都没有注意到过。后来,我发现有我这种经历的人不止一个。惯性思维很可能会让你接受一些明显错误的算法,并且让你用得坦坦荡荡,一辈子也发觉不了。
    假使你需要把一个数组随机打乱顺序进行重排。你需要保证重排后的结果是概率均等、完全随机的。下面两种算法哪一种是正确的?其中,random(a,b)函数用于返回一个从a到b(包括a和b)的随机整数。

1. for i:=1 to n do swap(a[i], a[random(1,n)]);
2. for i:=1 to n do swap(a[i], a[random(i,n)]);


    如果不仔细思考的话,绝大多数人会认为第一个算法才是真正随机的,因为它的操作“更对称”,保证了概率均等。但静下心来仔细思考,你会发现第二种算法才是真正满足随机性的。为了证明这一点,只需要注意到算法的本质是“随机确定a[1]的值,然后递归地对后n-1位进行操作”,用数学归纳法即可轻易说明算法的正确性。而事实上,这段程序一共将会产生n*(n-1)*(n-2)*...*1种等可能的情况,它们正好与1至n的n!种排列一一对应。
     有人会问,那第一种算法为什么就错了呢?看它的样子多么对称美观啊……且慢,我还没说第一种算法是错的哦!虽然第一种算法将产生比第二种算法更多的可能性,会导致一些重复的数列,但完全有可能每种数列重复了相同的次数,概率仍然是均等的。事实上,更有可能发生的是,这两种算法都是正确的,不过相比之下呢第一种算法显得更加对称美观一些。为此,我们需要说明,第一种算法产生的所有情况均等地分成了n!个等价的结果。显然,这个算法将会产生n^n种情况,而我们的排列一共有n!个,因此n^n必须能够被n!整除才行(否则就不能均等地分布了)。但是,n!里含有所有不超过n的质数,而n^n里却只有n的那几个质因子。这表明要想n^n能被n!整除,n的质因子中必须含有所有不超过n的质数。这个结论看上去相当荒唐,反例遍地都是,并且直觉上告诉我们对于所有大于2的n这都是不成立的。为了证明这一点,只需要注意到2是质数,并且根据Bertrand-Chebyshev定理,在n/2和n之间一定还有一个质数。这两个质数的乘积已经大于n了。搞了半天,第一种看似对称而美观的算法居然是错的!

本文转载自:http://depravedangel.iteye.com/blog/1183769

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