另外一个理解多项分布的方法

2013/12/20 09:53
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多项分布概率公式的理解

多项分布是二项分布的推广。二项分布(也叫伯努利分布)的典型例子是扔硬币,硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币,k次为正面的概率即为一个二项分布概率。而多项分布就像扔骰子,有6个面对应6个不同的点数。二项分布时事件X只有2种取值,而多项分布的X有多种取值,多项分布的概率公式为  

P(X1=x1,,Xk=xk)={n!x1!,,xk!px1pxkwhenki=1xi=n0otherwise.
 这个公式看上去像是莫名其妙地冒出来的,想要了解它首先必须要知道组合数学中的多项式定理。

多项式定理:n是一个正整数时,我们有  

(x1+x2++xk)n=n!r1!r2!rk!xr11xrkk
 其中 r1+rk=n,ri0,1ik

这个多项式定理的推导如下,将式子左边展开  

(x1+x2++xk)n=(x1+x2++xk)(x1+x2++xk)
 上面的式子是由 n个因子相乘得到,而它的展开式可以看做在每个式子里选取某一个 xi,总共选取 n xi相乘,所以所有的展开式项都会有  

xr11xr22xrkk
 这样的公有项,而且 r1+rk=n

这样的话,我们可以把问题看成在n个式子里,先选取r1x1,然后选取r2x2,最后选取rkxk,然后求有多少种方法。类似把n 个球放到k个不同的盒子里的方法有多少种,我们得到  

Cr1,r2,rkn=Cr1nCr2nr1Crknr1rk1=n!r1!r2!rk!
   所以 xr11xr22xrkk的系数为 Cr1,r2,rkn,这样,我们就能得到展开式的通式。举个例子,当 k=2时,我们就得到了常见的二项式公式:

(a+b)n=i=0nCinaibni

再来看之前的多项分布的概率公式,假设 X1,X2,,Xk 发生的概率为 p1,p2,,pk,由于事件之间是相互独立的,可得p1+p2++pk=1。 我们将p1+p2++pk=1式子的左边看做一次抽样各种事件发生的概率和,那么(p1+p2++pk)n=1n=1则是进行了n 次抽样所有事件相互组合的对应概率和。把这个多项式展开,它的每一项都对应着一个特殊事件的出现概率。我们把展开式的通项作为X1出现x1 次,X2出现x2次,…,Xk出现xk次的这种事件的出现概率,这样就得到了多项分布的概率公式。

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