矩阵

原创
2020/06/10 10:44
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定义

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称m × n矩阵。记作:

矩阵是一个向量组(m个n维向量或n个m维向量)

特殊矩阵

同型矩阵

    两个或者两个以上的矩阵的行数和列数都相同,那么我们就说这两个或两个以上的矩阵是同型矩阵。

方阵

    行数与列数均为n的矩阵成为n阶方阵。

对称矩阵(Symmetric Matrices)

    以主对角线为对称轴,各元素对应相等的方阵。即满足

反对称矩阵

    即满足的方阵。对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为零,而位于主对角线两侧对称的元反号

对角矩阵(diagonal matrix)

    主对角线之外的元素皆为0的对称矩阵称为对角矩阵。

数量矩阵(scalar matrix)

    对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵

单位矩阵(identity matrix)

    对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。

    单位矩阵以In表示;如果阶数可忽略,或可由前后文确定的话,也可简记为I。一些数学书籍使用U和E(分别意为单位矩阵和基本矩阵),不过I更加普遍。

    I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\  I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\  I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\  I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

 

伴随矩阵(adjugate matrix)

定义

设矩阵  ,将矩阵  的元素  所在的第i行第j列元素划去后,剩余的各元素按原来的排列顺序组成的n-1阶矩阵所确定的行列式称为元素  的余子式,记为  ,称  为元素  的代数余子式。方阵  的各元素的代数余子式  所构成的如下矩阵
=
该矩阵  称为矩阵  的伴随矩阵

逆矩阵(inverse matrix)

一个n阶方阵A称为可逆的,或非奇异(|A|不等于0)的,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E。则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A^-1。

性质定理:

  1. 可逆矩阵一定是方阵。
  2. 如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
  3. A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
  4. 可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T  (转置的逆等于逆的转置)
  5. (kA)^-1=k^-1·A^-1
  6. |A^-1|=|A|^-1
  7. 若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
  8. 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
  9. 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

矩阵的秩

存在k阶子式不为0,任给k+1阶子式全为0,则矩阵的秩r(A)=k,即组成矩阵A的独立向量个数为k

矩阵的行列式

定义

设A=(aij)是数域P上的一个n阶方阵,则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为方阵A的行列式,记为|A|或det(A)

性质

  1. 方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积,即|AB|=|A|·|B|
  2. |kA|=k^n|A|

线性运算

加减法

法则

两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减

设矩阵,则
同型矩阵才可进行加减运算

性质
满足交换律:A ± B = B ± A
满足结合律:( A + B ) + C = A + ( B + C )

数乘

法则

数λ乘矩阵A,就是将数λ乘矩阵A中的每一个元素,记为λA或Aλ。特别地,称称为的负矩阵。

性质

满足结合律: (λμ)A=λ(μA) ; (λ+μ)A =λA+μA
满足分配律: λ (A+B)=λA+λB

非线性运算

矩阵转置

定义

将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记作

性质

矩阵相乘

定义

设A为m×p的矩阵,B为p×n的矩阵,那么称m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积,记作C=AB,其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为:

如下所示:

性质

满足结合律: (AB)C=A(BC)
满足左分配律:(A+B)C=AC+BC
满足右分配律:C(A+B)=CA+CB
不满足交换律

 

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