计算机如何理解事物的相关性-文档的相似度判断

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01/26 10:05
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生活中,我们经常会对比两个事物的相关性,也可以叫做相似度

  • 如果一件事物与另一件事物的相似度比较高,那这两件事物的相关性就比较大。

  • 如果一件事物与另一件事物的相似度比较低,那这两件事物的相关性就比较小。

人类会根据自己的经验,很容易的判断两件事物是否相似,或者相似度是多少。那如何让计算机也能够进行这样的判断呢?

1,空间向量模型

我们都知道,计算机并没有思维,它只能理解数字。所以,如果想让计算机理解我们现实世界中的事物,必须先把现实事物转换成数字。

空间向量模型假设,任何事物都可以转换成 N 维空间中的一个点,这个点称为向量,然后通过计算向量之间的距离或夹角,来判断向量的之间相关性,进而判断事物之间的相关性。

  • 向量之间的距离越大,事物就越不相关;距离越小就越相关。
  • 向量之间的夹角越大,事物就越不相关;夹角越小就越相关。

什么是向量

向量代表了事物的特征。

向量是相对标量而言,标量只是单个数字,没有方向性。向量也叫矢量,由一组数字构成,具有方向性。

例如,用下图中的 x 表示向量,其中 n 表示向量的维度:

在这里插入图片描述

2,向量之间的距离

两个向量所对应的两点之间的距离就是向量的距离,距离可以描述不同向量在向量空间中的差异,也就是现实事物之间的差异。

常用的计算距离的方法有四种:

  • 麦哈顿距离
  • 欧式距离
  • 切比雪夫距离
  • 闵可夫斯基距离

其中使用最多的是欧氏距离,下面一一介绍。

麦哈顿距离

麦哈顿距离可以理解为街道距离,或者出租车距离。

可以看到下图中,从A 点到B 点,不管是走1线路 还是2线路,距离都是一样的,这个线路的距离就是麦哈顿距离。

在这里插入图片描述

二维空间中的两个点A(x1, x2)B(y1, y2),麦哈顿距离的计算公式为:

在这里插入图片描述

n 维空间中的两个点A(x1...xn)B(y1...yn),麦哈顿距离的计算公式为:

在这里插入图片描述

欧式距离

欧式距离也叫欧几里得距离,比较好理解,就是直线距离。

如下图,A 点到B 点的直线距离就是欧式距离。

在这里插入图片描述

对于二维空间中的两个点A(x1, x2)B(y1, y2),欧式距离的计算公式为:

在这里插入图片描述

对于n 维空间中的两点A(x1...xn)B(y1...yn),欧式距离的计算公式为:

在这里插入图片描述

切比雪夫距离

切比雪夫距离可以类比为在方格中走格子,怎样走的格子数最少。

如下图中,从A 格子走到B 格子,先斜线走,再直线走,最终走的格子数就是切比雪夫距离。

在这里插入图片描述

对于二维空间中的两个点A(x1, x2)B(y1, y2),切比雪夫距离的计算公式为:

在这里插入图片描述 上面公式的含义是,∣x1 − y1∣∣x2 − y2∣ 两者的最大者。

对于n 维空间中的两点A(x1...xn)B(y1...yn),切比雪夫距离的计算公式为:

在这里插入图片描述

闵可夫斯基距离

闵可夫斯基距离也叫做闵氏距离,它并不是一种单独的距离,而是上面三种距离的统一。

对于二维空间中的两个点A(x1, x2)B(y1, y2),闵可夫斯基距离的计算公式为:

在这里插入图片描述

对于n 维空间中的两点A(x1...xn)B(y1...yn),闵可夫斯基距离的计算公式为:

在这里插入图片描述

根据p 取值的不同,闵可夫斯基距离表示不同的距离:

  • p=1 时,就是曼哈顿距离;
  • p=2 时,就是欧氏距离;
  • p 趋近于无穷大的时候,就是切比雪夫距离。

3,向量的长度

向量也是有大小的,向量的大小就是向量的长度。

向量的长度也叫向量的模,它是向量所对应的点到空间原点的距离,通常使用欧氏距离来表示向量的长度。

数学中有一个概念叫做范数,范数常被用来衡量向量的长度。

范数有4 种,分别对应向量的4 种距离:

  • L1 范数,用 ||x|| 表示,对应于麦哈顿距离。
  • L2 范数,用 ||x||<sub>2</sub> 表示,对应于欧式距离。
  • L∞ 范数,用 ||x||<sub>∞</sub> 表示,对应于切比雪夫距离。
  • Lp 范数,用 ||x||<sub>p</sub> 表示,对应于闵可夫斯基距离。

4,向量的夹角

向量的夹角经常用余弦值表示。

在这里插入图片描述

对于二维空间中的两个点A(x1, x2)B(y1, y2),余弦的计算公式为:

在这里插入图片描述

对于n 维空间中的两点A(x1...xn)B(y1...yn),余弦的计算公式为:

在这里插入图片描述

夹角的余弦取值范围是[-1, 1],那么:

  • 当两个向量的方向重合时,余弦值最大,为1
  • 当两个向量的方向相反时,余弦值最小,为 -1
  • 余弦值越大,说明夹角越小,两点相距就越近。
  • 余弦值越小,说明夹角越大,两点相距就越远。

5,向量距离与夹角的使用

我们可以将向量的距离与夹角展现在同一个N 维坐标系中,如下:

在这里插入图片描述

向量的余弦取值范围是[-1, 1],余弦值越大,表示越相似,正好与相似度成正比。

对于向量之间的距离,通常用欧式距离 ED表示,ED 越小,表示越相似,与相似度成反比,而且ED 的取值范围非常大。

所以通常会将欧式距离进行 1/(ED+1) 归一化处理,用ED' 表示。ED'的取值范围是[0, 1],并且与相似度成正比:

  • 当 ED 为 0 时,ED'值是 1,表示相似度为 1,事物完全相同。
  • 当 ED 趋近于无穷大时,ED'值是 0,表示相似度为 0,事物完全不同。

应用空间向量模型的机器学习算法有 K 近邻(KNN)分类、K 均值(K-Means) 聚类等。

6,如何判断文档的相似度

为了让计算机能够判断现实事物的相似度,我们引出了空间向量的概念。

下面我们来看如何使用空间向量,来判断文档相似度

比如,现在我们有两个中文句子,要判断这两个句子的相似度:

  • 句子1:我去过北京,也去过天安门。
  • 句子2:我也去过北京,但没去过天安门。

要想将文档转换成向量,首先需要对文档进行分词。

分词

我们可以使用 jieba 对这两个句子进行分词,结果如下:

  • 句子1:['我', '去过', '北京', '也', '去过', '天安门']
  • 句子2:['我', '也', '去过', '北京', '但', '没', '去过', '天安门']

可以得到所有词的集合:

  • 分词集合:['没', '但', '北京', '我', '去过', '天安门', '也']

计算每个句子的分词的词频:

  • 句子1:{'没':0, '但':0, '北京':1, '我':1, '去过':1, '天安门':1, '也':1}
  • 句子2:{'没':1, '但':1, '北京':1, '我':1, '去过':1, '天安门':1, '也':1}

从而可以得到词频向量:

  • 句子1:[0, 0, 1, 1, 1, 1, 1]
  • 句子2:[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

上文中,我们介绍了,可以通过向量的距离或者余弦夹角来度量向量之间的相似度。这里我们使用余弦夹角来计算。我们知道 N 维空间的余弦公式为:

在这里插入图片描述

从而可以计算余弦夹角为:

在这里插入图片描述

可以看到,最终算出的余弦夹角为 0.85,比较接近1,说明这两个句子还是很相近的。

7,总结

本篇文章主要介绍了以下几点:

  • 要想让计算机理解现实世界中的事物,需要将其转换成空间向量的形式。
  • 可以通过计算空间向量之间的距离或者夹角,来衡量事物之间的相似度。
  • 向量之间的夹角通常使用余弦夹角值
  • 向量之间的距离有4 种,分别是:
    • 麦哈顿距离
    • 欧式距离(最常用)
    • 切比雪夫距离
    • 闵可夫斯基距离
  • 案例:如何使用空间向量模型判断文档相似度。

(本节完。)


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