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傅里叶变换

archted
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发布于 09/22 22:42
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[toc] 转自https://blog.csdn.net/sw3300255/article/details/83782269(11.频域里的卷积——傅里叶变换的性质,傅里叶对,结论_3)

傅里叶变换

FFT

傅里叶变换的性质

让我们继续看看空间域和频域之间的关系。这是傅里叶变换的一些简单性质。我们从一个我们已经讨论过的问题开始。一切都是线性的因为我们只是做求和和乘法(如图),对吧?

我们刚才描述的是这个卷积。空间域的卷积就是频域的乘法,反之亦然,

一个有趣事情的是缩放。所以,如果我用一个常数a来缩放一个函数。我们这样想,假设a大于1,假设a是2, 这意味着当x = 1时,x = 2,它会收缩,对吧? 当你乘以一个大于1的数,

如果我有一个函数(如图1),现在发生的是这个值被移到这里(如图2),所以我实际上缩小了这个函数(图3),对吧?

123

所以当我缩小一个函数的时候它会摆动得更快,对吧?因为他们之前摆动得比较慢。如果我把它拉进去,它现在摆动得更快。结果是,我拉伸了傅里叶变换(如图)。这就是它的公式,1 / a乘以F (u / a)它有逆性质。就像高斯函数一样,对吧? 如果我让它变得更胖,我的傅立叶变换会变得更瘦。

最后一个看起来,我们不会使用这么多,但我希望你能看到这个(如图)。当你对一个函数求导时,这是一个n阶导数。

你将傅里叶变换F(u)乘以一个与频率成正比的函数(i2πu)^n,所以假设n = 1然后求一阶导数,对吧?

也就是说,你要把F (u)乘以u,这就意味着频率越高越明显。这就是求导时的结果。还记得我们加了噪声,高频噪声,然后求导,整个东西都爆炸了吗?那是因为你把它乘以,当你求导时,你乘以高频分量。

傅里叶对

如果你看一下我们前面提到过的Rick Szeliski的书,你可以看到一大堆傅里叶变换对。

例如,像这样绘制的脉冲具有1的傅里叶变换(如图)。就像我们说的那样,这是有道理的,因为当你对它进行卷积时,脉冲会返回原来的函数,所以你最好保持所有的频率。

同样地,我们说过高斯函数的傅里叶变换是另一个高斯函数(如图)。G(\sigma)等于1 /\sigma。空间上是胖高斯,频率上是瘦高斯。

但是看看这个。但是看看这个。如果我有一个盒子过滤器,它只是一个形状像盒子的过滤器,它会产生所谓的sinc函数。画在这里,

我们再仔细看看,Okay? 在这个空间域中(左图1),我们有一个方框滤波器这是sinc函数(右图2)。然后sinc(x) = sin(x)/x,我们可以这样想,如果你取x趋于0时的极限,你记得洛必达法则对顶部求导就是余弦,底部的导数就是0中的1,它是1,

x趋于0时的极限是1,在这里,

然后随着x变大,sin变弱这就是你在这里看到的。

换句话说,如果我要用盒子滤波器卷积某些东西。我的频率会以某种奇怪的方式表现出来。你知道,我有这种很好的低通特性(如图)

但是接下来,我会有各种各样的其他频率(如图),这些频率会加重。如果你还记得,我们在引入过滤时很早就做到了这一点。

还记得吗,我们用一个盒子,和一个正方形做卷积? 我们说,天哪,这么丑吗?这就是为什么它很丑。看到这张图了吗?(如图) 你看它是怎么有这些小条纹的。我说过,当我们第一次做这个的时候,那是因为盒子不是光滑的当我们做傅里叶分析的时候我们会使它更正式。我遵守了我的诺言。 Okay?

当你把一个图像和那个小方块卷积的时候你会看到所有这些垃圾是因为频域中的这个振铃效应(如图)。

这就是为什么我们说,你应该做什么? 你应该应用一个高斯函数而不是一个盒子,它会形成一个漂亮的图像,你知道,一个漂亮的,平滑的图像。

因为在频域中,你会得到一个平滑的高斯分布(如图),

关于这些sinc函数还有一件事,好吗? 所以我们证明了盒子的傅立叶变换(左图1)是sinc(右图1)。

好吧,由于对称性,如果我在频率空间中有一个盒子(右图2),那将是空间域中的一个sinc(左图2)。

那么,如果我要采取一些函数,采用其傅立叶频谱并将其乘以这个方框,那会是什么样的呢? 好吧,我已经给你们看过了,对吧? 基本上,它有时被称为药盒,因为它是一个盒子。,但在2D中,这不是一个特定的宽度(左图),而是一个半径(右图),对吧?

因此,直径以外的所有内容都设置为0,内部的所有内容都保持不变。

如果你还记得我们得到的图片是这张丑陋的图片里面有很多铃声。 好吧,现在我们知道为什么了。 当您通过一个盒子乘以频率时,就好像您使用sinc函数将图像与其傅里叶对进行卷积。 因此,如果你拍摄这张漂亮的照片并用这个丑陋的野兽卷积,你会得到一些看起来像这样的东西(如图)。 这就是振铃的来源。 这就是为什么你永远不想只是削减高频,因为你实际上正在做的是用sinc函数卷积你的图像。

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