逆波兰式的学习、运用(附带C++写的一个整数的计算器)
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摘要: 所谓的逆波兰表示法(Reverse Polish notation, RPN, 或者逆波兰记法),这是一种数学表达式方式,在逆波兰记发中,所有操作符置于操作数的后面,因此也被称为后缀表示法。也许大家都不怎么看这些小众的东西了,在这里记录一下,我写的挺清楚的,大家看一边也应该都能理解了。

    我们今天普遍使用计算器,在初级的计算器中,由于计算机可没有人那么聪明,很难能够准确得判断运算的优先级,所以在写计算机的计算器的时候,我们需要将获得的四则运算的表达式改写为逆波兰式,方便计算机进行运算。

所谓的逆波兰表示法(Reverse Polish notation RPN, 或者逆波兰记法),这是一种数学表达式方式,在逆波兰记发中,所有操作符置于操作数的后面,因此也被称为后缀表示法。

就像是树的搜索方式,有前序、中序、后序遍历,在一棵树中,我们将操作符放在节点处,将操作数放在叶子处,优先级越高的操作越靠下,我们普通四则运算的表达式就是使用中序遍历得到的式子,而逆波兰式则是通过后序遍历得到的,举个例子:中缀表达式(a+b)*c-(a+b)/e的逆波兰式是ab+c*ab+e/-

要使用逆波兰式进行运算,首先我们需要知道如何将一个普通的四则运算表达式转换为一个标准的逆波兰式,在算法书上都有讲的,也已经是一个很成熟,很方便的算法了。

在理解逆波兰式的时候,我们使用了树的中序遍历辅助我们理解,但是在正式使用的时候,大家千万不要想着先将普通的四则表达式生成一棵树,然后再进行后序遍历生成逆波兰式,这是二逼做的事哈。我帮大家找了一个很简洁,很易懂的哈:

Step 1:我们使用两个栈构建逆波兰式,栈S1用于临时储存运算符号,运算符在栈内遵循越往栈顶优先级越高的原则;栈S2用于输入逆波兰式。由于我们需要判断式子是否读完,所以先在S1内放入一个优先级最低的运算符,大家随意哈;

Step 2:从表达式的左端开始逐个读取字符x,进行如下步骤:

         1、       x19内的数,那么继续读,直到读出完整的操作数,然后将操作数压入栈S2

                2、        x是运算符,则分情况讨论:

                若x'(',则直接压入栈s1

                若x')',则将距离栈s1栈顶的最近的'('之间的运算符,逐个出栈,依次压入栈s2,此时抛弃'('

                若x是除'('')'外的运算符,则再分如下情况讨论:

              若当前栈s1的栈顶元素为'(',则将x直接压入栈s1

                若当前栈s1的栈顶元素不为'(',则将x与栈s1的栈顶元素比较,若x的优先级大于栈s1栈顶运算符优先级,则将x直接压入栈s1。否者,将栈s1的栈顶运算符弹出,压入栈s2中,直到栈s1的栈顶运算符优先级别低于(不包括等于)x的优先级,或栈s2的栈顶运算符为'(',此时再则将x压入栈s1;

        Step 3:在进行完(2)后,检查栈s1是否为空,若不为空,则将栈中元素依次弹出并压入栈s2中(不包括最末尾的标志符);

         Step 4:完成上述步骤后,栈s2便为逆波兰式输出结果。但是栈s2应做一下逆序处理,因为此时表达式的首字符位于栈底;

      能顺利生成逆波兰式得话基本就大功告成了,相对于生成波兰式,使用波兰式计算那就是再简单不过的了,建议使用一个栈存取操作数,然后顺序读就可以了,在下面的代码中,有实现,大家可以看一下。

这里附上做练习时写的一个计算器的代码,逆波兰式的练习哈:

#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;
class Calculator {                         // 整数的加减乘除运算器 
	private:
		string Polish;
		long int result;
	public:
		Calculator() {
		}
		long int& getResult(string exp) {
			Polish.clear();
			stack<char> s1,s2;
			s1.push('#');         //以#号作为标记 
			char temp;
			for(int i=0; i<exp.length(); i++) {                 //利用两个堆栈生成逆波兰式 
				if (exp[i] >= '0' && exp[i] <= '9') {
					s2.push(exp[i]);
				} else if (exp[i] == '+' || exp[i] == '-' ||exp[i] == '*' ||exp[i] == '/') {
					s2.push('#');
					temp = s1.top();
					if(temp == '#'||(temp == '+' || temp == '-')&&(exp[i] == '*' ||exp[i] == '/')) {
						s1.push(exp[i]);
					} else {
						while (!(temp=='#'||temp == '(' || (temp == '+' || temp == '-') && (exp[i] == '*' ||exp[i] == '/'))) {
							s2.push(temp);
							s1.pop();
							temp = s1.top();
						}
						s1.push(exp[i]);
					  } 
					} else if(exp[i] == ')'|| exp[i] == '(') {
				  	    if(exp[i] == '(') {
				  		s1.push(exp[i]);
				  	    } else {
				  	    temp = s1.top();
				  		while (temp != '(' ) {
				  		s2.push(temp);
						s1.pop();
						temp = s1.top();
					    }
					    s1.pop();
				  	    }
				  }
				}
			while(s1.top()!='#') {
				s2.push(s1.top());
				s1.pop();
			}
			for(;s2.size()>=1;) {
				Polish.push_back(s2.top());
				s2.pop();
			}
			long int temp2;
			long int temp3;
			long int temp1=0;
			stack<long int> s3;
			bool sign =0;
			for(int i = Polish.length()-1; i >= 0; i--) {   //进行逆波兰式的运算 
				if(Polish[i] >= '0' && Polish[i] <= '9') {
					temp1 = temp1*10 +  Polish[i]-'0';
                    sign = 1;
				}
				if((Polish[i] == '#'||Polish[i] == '+'||Polish[i] == '-'||Polish[i] == '*'||Polish[i] == '/')&&(sign == 1)||(i == 0&&sign == 1)) {
					if(sign == 1){
					s3.push(temp1);
					temp1 = 0;
				    sign = 0;
					}
				}
				if(Polish[i] == '+'||Polish[i] == '-'||Polish[i] == '*'||Polish[i] == '/') {
					temp2 =s3.top();
					s3.pop();
					temp3 =s3.top();
					s3.pop();
					switch(Polish[i]) {
						case '+':
							s3.push(temp3+temp2);break;
						case '-':
							s3.push(temp3-temp2);break;
						case '*':
							s3.push(temp3*temp2);break;
						case '/':
							s3.push(temp3/temp2);break;
					}
				}
			}
			result = s3.top();
			return result;
		}
};
int main()
{
	Calculator c;    //对各种极端情况进行验证 
	cout<<c.getResult("3")<<endl;
	cout<<c.getResult("((3+4)*5+6)*7")<<endl;
	cout<<c.getResult("1+2*3")<<endl;
	cout<<c.getResult("2*5+10")<<endl;
	cout<<c.getResult("3*(5+4)")<<endl;
	cout<<c.getResult("(4+5)*(2+2)")<<endl;
	cout<<c.getResult("1/2+1/2")<<endl;
	cout<<c.getResult("0+0")<<endl;
	cout<<c.getResult("4*5-7*8")<<endl;
	cout<<c.getResult("378+456-500*12/2")<<endl;
	cout<<c.getResult("((11*(12+13)*(14+15))+(16+17))*(18+19)")<<endl;
	cout<<c.getResult("4+5")<<endl;
	cout<<c.getResult("4")<<endl;
	cout<<c.getResult("77+44-22*33/11")<<endl;
	return 0;
}


       一点点学习心得:也许大家都不太喜欢研究这些看似比较脑残的东西哈,但是,亲身写了之后,我觉得这货真是考验一个人的思维的清晰程度,而且,如果仅仅是看算法,我觉得不论背得多熟,也总是云里雾里的,还是需要自己动手写一写,感受感受。反正代码嘛,多写写总没什么坏处,特别是这种特别绕人的东西,写了后再看其它的算法,理解起来事半功倍哈。








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